Математика

Все мы привыкли к числам и операциям над ними. И когда нужно сложить 2+7, вычесть 10-8, 5 умножить на 5, мы сразу не задумываемся и говорим готовые ответы: 2+7=9, 10-8=2, 5*5 = 25

В названии темы я привел другие ответы и написал, что все решено верно:

1+1 = 1, 2*3 = 10, 14-5=7, 5*5=19

Это провокационный вопрос, который у людей, мало знакомых с математикой, вызовет возмущение и удивление.

Начнем с простого, и коснемся чисел и позиционных систем исчисления, к которым относится привычная нам десятеричная система.

Мы привыкли к числам и цифрам, видеть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и складывать из них произвольные: 12, 15, 25, 32, и другие всевозможные сочетания. Это устроено довольно просто:

Складываем 3 и 5, получаем 8, складываем 8 и 1, получаем 9 - везде по одной цифре. А если нужно сложить 9 и 1 и подходящей цифры уже нет, мы комбинируем 1 и 0 и пишем 10.

Если бы взяли шестеричную систему исчисления, наш ряд состоял бы из шести цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, а дальше бы уникальных цифр не было. И чтобы написать число шесть, нам бы пришлось взять 1 и 0, тоесть написать 10.

Вот простое соответствие шестеричной и десятичной систем исчисления, где первое число приведено в десятичной, а второе в шестеричной системах:

0 = 0

1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 = 5

6 = 10 (в шестеричной системе уникальные цифры кончились, надо взять 1 и 0)

7 = 11

8 = 12

9 =13

10 = 14

11 = 15 и так далее.

Значит, если нам надо выполнить 2*3 = мы бы получили 6 в десятичной системе. А в шестеричной системе 6 соответствует число 10. Тоесть 2*3 = 10 справедливо для шестеричной системы исчисления.

14 - 5 = 9 в десятичной системе исчисления. Но если 14 - 5 = 7, то 14 = 5+7, тоесть 14 в неизвестной системе исчисления = 12 в десятичной. Тоесть это будет восьмиричная система исчисления.

5*5 = 25 в десятичной СИ, а в нашей 5*5 = 19, тоесть 25 в десятичной = 19 в нашей. Значит у нас шестнадцатеричная система:

16 = 10

17 = 11

18 = 12

19 = 13

20 = 14

21 = 15

22 = 16

23 = 17

24 = 18

25 = 19

Осталось разобрать, как получилось, что 1+1 = 1

Это не связано с системами исчисления, так как данный пример из алгебры логики, где два истинных утверждения (обозначаются единицей) дают тоже истину (единицу). И так можно написать: 1+1+1+1+1 = 1 и до бесконечности.

Если материал был полезен и вы поняли суть, предлагаю решить следующие примеры, узнать, в какой системе исчисления они записаны:

2+3 = 10

3*3 = 12

4 + 7 = B

12:3 = 3

7+8 = 11

A + 3 = 10

http://spacemath.xyz/ математика с нуля

http://maths.yfa1.ru/ справочник по математике

http://mathprofi.ru/ высшая математика подробно

https://zen.yandex.ru/id/5ee4abd221dc081d5559bd83 - наш яндекс дзен

Основой математики являются числа и действия над ними. Под числами подразумевается все, что имеет счет. Листья, деревья, яблоки, облака, волны, музеи, города, звезды на небе.

На примере простых чисел можно вывести и понять все формулы математики, физики, информатики. 

В математике есть только две операции: сложение и умножение. При этом умножение является одним из видов сложения, когда мы складываем одинаковые объекты: 2+2+2+2+2 = 2*5 (5 раз сложить 2). А возведение в степень - одним из видом умножения: 7^3 = 7*7*7 (7 умножить три раза)

Вычитание берется из сложения с отрицательным знаком, например 5+(-2) = 3. К пяти прибавить минус два будет 3. 

Аналогично с делением, его можно представить в виде умножения: 10*1/5 = 2. Десять умножить на одну пятую будет 2.

В математике есть порядок элементов: 0,1,2,3,4,5,6,7,.. и отношения: больше, меньше, равно, не равно. А также больше или равно и меньше или равно. 

Из соотношения чисел получаются формулы, уравнения и неравенства. Например (3+7)*2 = 3*2 + 7*2 = 6 + 14 = 20, из этого можно получить формулу: (a+b)*c = a*c + b*c - распределительный закон умножения. Где числа заменяются буквами, подразумевая, что a,b и c - произвольные числа.

Более сложный пример: (a+b)*(a+b) = a*(a+b) + b*(a+b) = a*a+a*b+b*a+b*b = a^2+2ab+b^2 - формула квадрата суммы. Аналогично (a-b)^2=a^2-2ab-b^2 - квадрат разности, и a^2-b^2 = (a-b)(a+b) - формула разности квадратов. 

Далее идут множества и операции над ними. Под множеством подразумеваются объекты, обладающие одинаковым свойством: четные числа, нечетные числа, числа, кратные трем, пяти, деревья, цветы, и тд. А также множество операций сложения, множество классов вычетов и тд. Например число 8 принадлежит множеству четных чисел, а 10 - множеству чисел, кратных пяти. 

Самые основные множества - это множества натуральных, целых, рациональных, иррациональных, действительных и комплексных чисел. 

Если мы сложим яблоко с яблоком, у нас получится два яблока. Но если мы сложим водород и кислород, у нас получится вода. Таким образом, разным множествам присущи разные законы, по которым они устроены. Эти законы называются аксиомами. В математике встречается много аксиоматик: элементарной геометрии, числового поля, группы, метрического и векторного пространств, теории множеств, теории вероятностей, системы аксиом Пиано, Гильберта, и другие.

Чтобы изучить, как устроены множества и аксиоматики, достаточно рассмотреть любую из этих систем. И самый простой пример - аксиомы Пиано, по которым построен школьный курс математики.

Это известные всем законы: a = a, a+b = b+a, a*1=a, a+0 =a, a*b=b*a, (a+b)+c=a+(b+c), a*(b+c) = a*b + a*c, и их следствия. 

Есть много разделов математики, каждый из которых изучает свою область и использует результаты из других областей. Например: теория чисел, комбинаторика, алгебра, геометрия, математическая логика, теория алгоритмов, математический анализ и другие. Многие из них проходят на 1-2 курсе института, а начальные знания дают детям уже во 2-3м классах начальной школы. Особенно тем, кто с детства интересуется школьными олимпиадами.

И чтобы понимать математику, лучше начинать со школьного курса - он является началом и частным случаем большой математической науки. Изучать математический язык постепенно. 

Например, записать формулу множества четных чисел. Это будет 2*n, где n принадлежит множеству целых чисел. Аналогично, 2*n-1 формула для множества нечетных чисел. Написать формулу n-го элемента ряда 2,4,6, .. , это будет An = A0+2*(n-1), и тд. 

Отдельным и интересным разделом математики идет геометрия. Она изучает свойства фигур. Но накладывая фигуры на систему координат, можно увидеть формулы, по которым можно описать любую геометрическую фигуру и поверхность. Даже в многомерных пространствах. На этом построена компьютерная графика. 
Например y=x, y=3, x=5, y=x-2 и тд - простейшие формулы прямых линий. r^2=x^2+y^2 - формула круга. x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 формула эллипса, и т.д.
Так можно переводить алгебру в геометрию, и геометрию в алгебру. Например, когда нужно построить диаграммы, графически решить систему уравнений, увидеть график метеонаблюдений, .. И это доступно не только ученым, но и всем людям, так как в интернете есть математические программы в открытом доступе. И многие исследования можно сделать, написав собственную программу и подключив к ней научные библиотеки.

Продолжение в следующих статьях и примерах.

 

 

 

 

 

Аксиоматика и аксиоматический метод

«Аксиомы обладают наивысшей степенью общностии представляют начала всего». Аристотель

«Так называемые аксиомы математики - это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта». Ф. Энгельс

Аксиоматика - система аксиом той или иной математической науки. Например, аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом, аксиоматика числового поля - 9 аксиом. Наряду с ними важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, аксиоматика метрического и векторного пространств и др. Советским математикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежит заслуга аксиоматического описания теории вероятностей. Десятки других направлений современной математики также развиваются на аксиоматической основе, т. е. на базе соответствующей системы аксиом (аксиоматики).

Аксиоматический метод - важный научный инструмент познания мира. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строятся на основе аксиоматического метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения в математике и естествознании.

Во многих разделах современной математики применяются метрические пространства как совокупности элементов произвольной природы, в которых для каждой пары а и b определено число p (a, b), называемое расстоянием между а и b и удовлетворяющее аксиоматике, состоящей всего из трех аксиом:

1) р(а, b)= p(b, a);
2) р(а, b) >= 0, причем
р(а, b)=0 в том, и только в том случае, если а = b;
3) р(а, b) =< р(а, с) + р (b,с).

В приложениях математики рассматриваются метрические пространства, «точками» которых могут являться линии, фигуры, траектории полета космических кораблей, плановые задания заводов и т.д. Доказав (на основе аксиом) какую-либо теорему о метрических пространствах, можно утверждать, что она будет справедлива для метрических пространств, применяемых в геометрии, алгебре, астронавтике, экономике и, вообще, во всех тех областях, где появляются метрические пространства.

Развив ту или иную аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода. Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области математики заключается в следующем:

во-первых, перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;
во-вторых, указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;
в-третьих, с помощью определений вводятся дальнейшие понятия и,
в-четвертых, исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты — теоремы.

Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты, выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе системы аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.

 

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиоматика не может служить основой построения содержательной теории.
Чтобы объяснить подробнее, как в современной математике рассматриваются вопросы непротиворечивости, приведем пример. Несколько школьников решили организовать шахматный турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно три партии с кем-либо из остальных участников (а белыми или черными фигурами - по жребию). Составить расписание турнира никак не удавалось, и мальчики обратились за помощью к учителю. По просьбе учителя юные шахматисты подсчитали общее число участников: оно оказалось нечетным. Тогда учитель предложил сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) понятия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получилось четыре:

Аксиома 1. Число игроков нечетно.
Аксиома 2. Каждый игрок участвует в трех партиях.
Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока.
Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.

Из этих аксиом можно вывести ряд теорем.
Первую из них предложил для примера сам учитель.
Теорема 1. Число игроков не меньше пяти.
Доказательство. Так как нуль - четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т.е. существует хотя бы один игрок А. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в трех партиях, причем в каждой из этих партий, кроме А, участвует еще один игрок (аксиома 3). Пусть В, С, D игроки, отличные от А, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки В, С, D различны (если бы, например, было В = С, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок А и игрок В=С). Итак, мы нашли уже четырех игроков: А, В, С, D. Но тогда по аксиоме 1 число игроков не меньше пяти.
Следующую теорему доказал один из учеников. Для этого он определил повое понятие: если q-некоторая партия и A-один из участвующих в ней игроков, то пару (q, А) назовем выступлением игрока.
Теорема 2. Число всех выступлений игроков четно.
Доказательство. Если в партии q участвуют игроки А и В, то мы получаем два выступления игроков: (q, А) и (q, В), т.е. каждая партия дает ровно два выступления игроков (аксиома 3). Значит, число всех выступлений игроков четно, так как оно вдвое больше числа всех партий. Однако другой ученик доказал теорему, противоречащую предыдущей. Теорема 3. Число всех выступлений игроков нечетно.
Доказательство. По аксиоме 2 игрок А участвует ровно в трех партиях, скажем q1, q2, q3. Это дает три выступления игрока: (ql, A), (q2, A), (q3, A). Отсюда следует, что число всех выступлений игроков равно 3n, где n- число игроков. Так как n нечетно (аксиома I), то и Зn нечетно.
Таким образом, взятая аксиоматика позволяет доказать ряд теорем, однако среди них имеются две, противоречащие друг другу. Это означает, что такая аксиоматика противоречива, т.е. требования, выдвинутые организаторами турнира, несовместимы. Не удивительно, что мальчики не сумели составить расписание турнира: такого расписания просто не существует, После этого учитель предложил другую систему организации турнира, при которой каждый из участников должен сыграть не три, а четыре партии с кем-либо из остальных участников. Иначе говоря, он предложил рассмотреть «теорию», в которой те же первоначальные понятия, а аксиомы формулируются следующим образом:

Аксиома 1. Число игроков нечетно.
Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях.
Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока.
Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.

Однако ученики не спешили выводить теоремы из этих аксиом: вдруг опять обнаружится противоречие. Учитель же заверил мальчиков, что, сколько бы теорем они ни выводили из этих аксиом, никогда противоречий не будет. Вот как он убедил их в этом.

Рассмотрим девятиугольник, в котором кроме сторон проведем девять диагоналей соединяющих вершины через одну. Вершины девятиугольника будем считать «игроками», проведенные отрезки (стороны и диагонали)-«партиями», а концы соответствующего отрезка-«игроками», участвующими в некоторой «партии». Мы получаем модель (или схему) интересующего нас турнира. Легко установить, что все четыре аксиомы здесь выполняются. Итак, удается построить модель, в которой выполняются все рассматриваемые аксиомы, причем эта модель построена из «материала» геометрии, т.е. науки, в непротиворечивости которой мы не сомневаемся.

Предположим теперь, что из рассматриваемых четырех аксиом можно вывести две теоремы, противоречащие друг другу. Тогда доказательства этих двух теорем можно было бы повторить и в построенной модели (ведь в этой модели все четыре аксиомы имеют - место). В результате получается, что, рассуждая о правильном девятиугольнике, мы можем получить две противоречащие друг другу теоремы. Но это означало бы, что геометрия — наука противоречивая, чего мы не допускаем. Таким образом, мы должны признать, что двух противоречащих друг другу теорем вывести из рассматриваемых четырех аксиом невозможно. Вообще, пусть рассматриваются две теории Р и Q, причем теория Р задается аксиоматически (и в ее непротиворечивости мы заранее не уверены), а Q - это хорошо известная нам теория, в непротиворечивости которой мы не сомневаемся. Если из «материала» теории Q удается построить модель, в которой выполняются все аксиомы теории Р, то этим непротиворечивость теории Р будем считать установленной.

Именно с помощью построения моделей в современной математике установлена непротиворечивость геометрии - в предположении непротиворечивости теории действительных чисел. Далее, установлена непротиворечивость теории действительных чисел - в предположении непротиворечивости теории рациональных чисел; наконец, установлена непротиворечивость теории рациональных чисел - в предположении непротиворечивости теории натуральных чисел.

 

Источник http://maths.yfa1.ru/

http://geometry-and-art.ru/corner.html

http://matematikaiskusstvo.ru/geometryandart.html